Question

已知椭圆C：的离心率为，椭圆C上的点到左焦点F距离的最小值与最大值之积为1．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l过椭圆C内一点M（m，0），与椭圆C交于P、Q两点．对给定的m值，若存在直线l及直线母x=-2上的点N，使得△PNQ的垂心恰为点F，求m的取值范围．

Answer

（1）利用椭圆离心率为，椭圆C上的点到左焦点F距离的最小值与最大值之积为1，建立方程组，即可求椭圆C的方程；
（2）直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理，△PNQ的垂心恰为点F，建立等式，即可求m的取值范围．
【解析】
（1）由条件得，解得a=，b=c=1
∴椭圆C的方程为．
（2）由条件知，F（-1，0），．
设P（x1，y1），Q（x2，y2），N（-2，y1），则由得（λ2+2）y2+2λmy+m2-2=0，
由知△＞0恒成立，且，．
由PQ⊥NF得y1=λ，（1）
由NQ⊥PF得，（2）
由（1）（2）式化简得，（λ2+1）y1y2+λ（m+1）（y1+y2）+（m+1）（m+2）=0
化简得，mλ2=-（3m2+6m+2）（显然m≠0），
由λ2≥0，得，解得．
∴m的取值范围[）．