Question

已知直线mx+ny=2，（m＞0，n＞0）平分圆x²+y²-2x-4y+4=0的周长，则取最小值时，双曲线的离心率为    ．

Answer

由题意直线经过圆心，可得m+2n=2．利用基本不等式可得==，当且仅当m=n=时取等号．可知双曲线为等轴双曲线，即可得到离心率．
【解析】
∵直线mx+ny=2，（m＞0，n＞0）平分圆x2+y2-2x-4y+4=0的周长，∴直线经过圆心，
∴m+2n=2．
∴===，当且仅当m=n=时取等号．
∴双曲线的离心率e=（等轴双曲线）．
故答案为．