Question

已知函数f（x）对任意x∈R都有f（x）+f（1-x）=
（1）求f（），f（）+f（）的值；
（2）若数列{a_n}满足a_n=f（0）+f（）+f（）+…+f（）+f（1），求数列{a_n}的通项公式；
（3）设b_n=（n∈N₊），c_n=b_nb_n+1，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer

（1））在f（x）+f（1-x）=中，分别取x=，x=，即可易求．
（2）根据（1），不难想到应用倒序相加法求解．
（3）由（2）求得bn==，cn=bnbn+1==16（）裂项后求和．
【解析】
（1）在f（x）+f（1-x）=中，
令x=，可得f（）+f（）=，所以f（）=
令x=，可得f（）+f（）=
（2）an=f（0）+f（）+f（）+…+f（）+f（1），又可以写成
an=f（1）+f（）+f（）+…+f（）+f（0），
两式相加得，2an=[f（0）+f（1）]+[f（）+f（）]+…[f（1）+f（0）]
=（n+1）[f（0）+f（1）]=
∴an=
（3）bn==，cn=bnbn+1==16（）

∴Tn=16[（+（）+…+（）]=16（）=