Question

已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）经过点A（-2，0），C（1，）
（1）求椭圆E的方程；  
（2）若直线l：x=my+1与椭圆E交于M，N两点，点F为椭圆E的左焦点，当△FMN面积最大时，求此时直线l的方程．

Answer

（1）把点A、C的坐标代入椭圆方程可得关于a，b的方程组，解出即可；
（2）易判断直线过椭圆的右焦点（1，0），设M（x1，y1），N（x2，y2），则=|y1-y2|，联立直线与椭圆的方程消掉x可得y的二次方程，由韦达定理可表示出|y1-y2|，构造函数，利用单调性可得函数的最值，从而可得△FMN面积的最大值及相应的m值；
【解析】
（1）把点A、C的坐标代入椭圆方程可得，解得，
所以椭圆E的方程为：；
（2）如图所示：
由得（3m2+4）y2+6my-9=0，
设M（x1，y1），N（x2，y2），
则，，
易知直线x=my+1过椭圆的右焦点（1，0），
所以===12
=，
令t=m2+1（t≥1），则f（t）=9t++6，f′（t）=9-＞0，
所以f（t）在[1，+∞）上单调递增，即f（t）≥f（1）=16，
所以S△FMN≤12=3，即△FMN面积最大为3，此时m=0，
所以所求直线方程为x=1．