Question

是否存在常数a，b，c使得等式1•2²+2•3²+…+n（n+1）²=（an²+bn+c）对于一切正整数n都成立？并证明你的结论．

Answer

先假设存在符合题意的常数a，b，c，再令n=1，n=2，n=3构造三个方程求出a，b，c，再用用数学归纳法证明成立，证明时先证：（1）当n=1时成立．（2）再假设n=k（k≥1）时，成立，即1•22+2•32++k（k+1）2=（3k2+11k+10），再递推到n=k+1时，成立即可．
证明：假设存在符合题意的常数a，b，c，
在等式1•22+2•32++n（n+1）2
=（an2+bn+c）中，
令n=1，得4=（a+b+c）①
令n=2，得22=（4a+2b+c）②
令n=3，得70=9a+3b+c③
由①②③解得a=3，b=11，c=10，
于是，对于n=1，2，3都有
1•22+2•32++n（n+1）2=（3n2+11n+10）（*）成立．
下面用数学归纳法证明：对于一切正整数n，（*）式都成立．
（1）当n=1时，由上述知，（*）成立．
（2）假设n=k（k≥1）时，（*）成立，
即1•22+2•32++k（k+1）2
=（3k2+11k+10），
那么当n=k+1时，
1•22+2•32++k（k+1）2+（k+1）（k+2）2
=（3k2+11k+10）+（k+1）（k+2）2
=（3k2+5k+12k+24）
=[3（k+1）2+11（k+1）+10]，
由此可知，当n=k+1时，（*）式也成立．
综上所述，当a=3，b=11，c=10时题设的等式对于一切正整数n都成立．