Question

已知点N（1，2），过点N的直线交双曲线x²-=1于A、B两点，且=（+）．
（1）求直线AB的方程；
（2）若过点N的直线交双曲线于C、D两点，且•=0，那么A、B、C、D四点是否共圆？为什么？

Answer

（1）设存在A（x1，y1），B（x2，y2）两点符合题意，依据=（+），可得N（1，2）为中点，利用韦达定理，可求k=1，继而得到直线方程．
（2）由（1）可得k的值，计算可得A、B的坐标，由CD垂直平分AB，可得直线CD的方程，代入双曲线方程，整理得x2+6x-11=0；记C（x3，y3），D（x4，y4），以及CD的中点为M（x，y），则x3，x4是方程②的两个根；计算可得，|MA|=|MB|=|MC|=|MD|，即可得么A、B、C、D四点共圆．
解 （1）由题意知直线AB的斜率存在．
设直线AB：y=k（x-1）+2，代入x2-=1
得（2-k2）x2-2k（2-k）x-（2-k）2-2=0．（*）
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1、x2是方程（*）的两根，
∴2-k2≠0．
且x1+x2=．
∵=（+），
∴N是AB的中点，
∴=1，
∴k（2-k）=-k2+2，k=1，
∴直线AB的方程为y=x+1．
（2）共圆．将k=1代入方程（*）得x2-2x-3=0，解得x=-1或x=3，
∴A（-1，0），B（3，4）．
∵•=0，∴CD垂直AB，
∴CD所在直线方程为
y=-（x-1）+2，
即y=3-x，代入双曲线方程整理得x2+6x-11=0，
令C（x3，y3），D（x4，y4）及CD中点M（x，y）
则x3+x4=-6，x3•x4=-11，
∴x==-3，y=6，
即M（-3，6）．
|CD|=|x3-x4|
=
=4，
|MC|=|MD|=|CD|=2，
|MA|=|MB|=2，
即A、B、C、D到M的距离相等，
∴A、B、C、D四点共圆．