Question

如图，已知△AOB的一个顶点为抛物线y²=2x的顶点O，A、B两点都在抛物线上，且∠AOB=90°．
（1）证明直线AB必过一定点；
（2）求△AOB面积的最小值．

Answer

（1）由题意先设OA所在直线的方程为y=kx（k≠0），由垂直关系得直线OB的方程为y=-x，将直线的方程与抛物线的方程联立方程组求出A点的坐标，B点的坐标，从而得出AB所在直线的方程，化简并整理即可得出直线过定点P（2，0）．
（2）由于AB所在直线过定点P（2，0），所以可设AB所在直线的方程为x=my+2．将直线的方程代入抛物线的方程消去x并整理得y2-2my-4=0．利用根与系数的关系及弦长公式即可求出S△AOB的表达式，最后利用二次函数的性质即可求出△AOB的面积取得最小值为4．
证明：（1）设OA所在直线的方程为y=kx（k≠0），则直线OB的方程为y=-x，
由解得或
即A点的坐标为（，）．
同样由解得B点的坐标为（2k2，-2k）．
∴AB所在直线的方程为y+2k=（x-2k2），
化简并整理，得（-k）y=x-2．
不论实数k取任何不等于0的实数，当x=2时，恒有y=0．
故直线过定点P（2，0）．
（2）解 由于AB所在直线过定点P（2，0），所以可设AB所在直线的方程为x=my+2．
由消去x并整理得y2-2my-4=0．
∴y1+y2=2m，y1y2=-4．
于是|y1-y2|====2．
S△AOB=×|OP|×（|y1|+|y2|）
=|OP|•|y1-y2|=×2×2=2．
∴当m=0时，△AOB的面积取得最小值为4．