Question

已知A、B、C三点共线，则对空间任一点O，存在三个不为零的实数λ、m、n使λ+m+n=，那么λ+m+n的值等于    ．

Answer

根据向量共线的条件，存在实数k，使得=k．由此化简得-（k+1）+k=，再与已知等式比较系数，结合讨论即可得到λ+m+n的值为0．
【解析】
∵A、B、C三点共线，∴存在实数k，使得=k
∵=-，=-
∴-=k（-），化简整理得：-（k+1）+k=
∵λ+m+n=，
∴①当k=-1时，比较系数得：m=0且λ=-n，所以λ+m+n=0
②当k≠-1时，可得，得m=（-k-1）λ，n=kλ
由此可得：λ+m+n=λ+（-k-1）λ+kλ=0
综上所述，λ+m+n的值为0
故答案为：0