Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别为BB₁和A₁D₁的中点．证明：向量、、是共面向量．

Answer

欲证向量、、是共面向量，即证明B1C和EF都与平面A1BD平行．连结A1D、BD，取A1D中点G，连结FG、BG，由三角形中位线定理和正方形的性质证出四边形BEFG为平行四边形，从而EF∥BG，利用线面平行判定定理证出EF∥平面A1BD，同理证出B1C∥平面A1BD，由此即可得到向量、、是共面向量．
【解析】
连结A1D、BD，取A1D中点G，连结FG、BG，
则有FGDD1，BEDD1，
∴FGBE，可得四边形BEFG为平行四边形．
∴EF∥BG．
∵EF⊄平面A1BD，BG⊂平面A1BD，∴EF∥平面A1BD．
同理可得B1C∥平面A1BD，而向量是平面A1BD内的向量
∴向量、、都与平面A1BD平行．
由此可得：将向量、、作适当的平移后，可以共面于平面A1BD
即、、是共面向量．