Question

已知点P（1，3），圆C：（x-m）²+y²=过点A（1，-），F点为抛物线y²=2px（p＞0）的焦点，直线PF与圆相切．
（1）求m的值与抛物线的方程；
（2）设点B（2，5），点 Q为抛物线上的一个动点，求的取值范围．

Answer

（1）点A坐标代入圆C方程解出m=1，再设出直线PF方程，根据PF与圆C相切利用点到直线的距离公式解出k=±1，讨论可得k=1不符合题意，而k=-1时算出=4，得抛物线方程为y2=16x；
（2）设Q（x，y），由向量的坐标运算公式，算出关于x、y的表达式，结合抛物线方程化简得=-y2-2y+12=-（y+16）2+28，利用二次函数的图象与性质即可得到的取值范围为（-∞，28]．
【解析】
（1）点A代入圆C方程，得（1-m）2+（-）2=，解之得m=1．
∴圆C方程为：（x-1）2+y2=．
①当直线PF的斜率不存在时，不合题意．
②当直线PF的斜率存在时，设为k，则PF：y=k（x-1）+3，即kx-y-k+3=0．
∵直线PF与圆C相切，∴C到PF的距离为=，解之得k=1或-1．
当k=1时，直线PF与x轴的交点横坐标为-2，不合题意舍去；
当k=-1时，直线PF与x轴的交点横坐标为4，
∴=4，可得抛物线方程为y2=16x
（2）∵P（1，3），B（2，5），∴，
设Q（x，y），得
∴=-（x-2）+（-2）（y-5）=-x-2y+12．
=-y2-2y+12=-（y+16）2+28
∵y∈R，得y=-16时的最大值等于28
因此，的取值范围为（-∞，28]．