Question

已知函数f（x）=log_a（a＞0，a≠1，m≠1）是奇函数．
（1）当x∈（n，a-2）时，函数f（x）的值域是（1，+∞），求实数a与n的值；
（2）令函数g（x）=-ax²+8（x-1）a^f（x）-5，a≥8时，存在最大实数t，使得x∈（1，t]-5≤g（x）≤5恒成立，请写出t与a的关系式．

Answer

（1）由已知，f（x）+f（-x）=0对定义域中的x均成立．求出m=-1，利用函数的单调性求f（x）在x∈（n，a-2）上的值域，列出相应的方程组并解出即可．
（2）g（x）=-ax2+8（x-1）af（x）-5=-a（x-）2+3+，利用二次函数的图象和性质求解．
【解析】
（1）由已知条件得f（x）+f（-x）=0对定义域中的x均成立．
∴+=0．
即=1∴m2x2-1=x2-1对定义域中的x均成立．
=1，m=1（舍去）或=-1，∴m=-1．
∴f（x）=（x＜-1或x＞1）
设t==1+，
∴当a＞1时，f（x）在（1，+∞）上是减函数．
同理当0＜a＜1时，f（x）在（1，+∞）上是增函数．
∵函数f（x）的定义域为（1，+∞）∪（-∞，-1），
∴①当n＜a-≤-1时有0＜a＜1．
∴f（x）在（n，a-2）为增函数，
要使值域为（1，+∞），
则（无解）；
②当1≤n＜a-2时有a＞3．
∴f（x）在（n，a-2）为减函数，
要使f（x）的值域为（1，+∞），则，
∴a=2+，n=1．
（2）g（x）=-ax2+8（x-1）af（x）-5=-ax2+8（x+1）-5=-a（x-）2+3+
则函数y=g（x）的对称轴x=，∵a≥8∴x=．
∴函数y=g（x）在（1，t]上单调减．
则1＜x≤t，有g（t）＜g（x）＜g（1）
∵g（1）=11-a，又∵a≥8，∴g（1）=11-a≤3＜5．
∵t是最大实数使得x∈（1，t]-5≤g（x）≤5恒成立
∴-at2+8t+3=-5即at2-8t-8=0．