在同一坐标系内作出y=cosx与y=lg|x|的图象,研究两个图象交点的个数即可得到原方程根的个数.利用根的存在性定理和余弦函数、对数函数的图象,分析出当x≥0时两个图象有3个不同的交点,再结合两个函数都为偶函数可得原方程有6个实数根.
【解析】
原方程即cosx=lg|x|,在同一坐标系内作出y=cosx与y=lg|x|的图象
由于两个函数均为偶函数,因此方程的根必定为偶数,只须研究当x≥0时的图象
∵x≥0时,cos=>lg,且cosπ=-1<lgπ
∴在区间[0,π]上,两个图象有一个交点
又∵当x∈(π,3π)时,lgx∈(0,1),
而cosx在(π,2π)上为增函数,在(2π,3π)上为减函数,最大值为1
∴在区间(π,3π)上,两个图象有两个交点
而当x≥3π时,易得在[3π,10]上两个图象没有交点
由于在区间(10,+∞)上,lgx>1恒成立而cosx≤1,两个图象也没有交点
∴两图象在x≥3π时没有交点.
综上所述,当x≥0时,y=cosx与y=lg|x|的有3交点,得cosx=lg|x|有三个不同的根
结合两个函数均为偶函数,得当x<0时,cosx=lg|x|也有三个不同的根,故方程cosx-lg|x|=0的根的个数为6
故选:D