Question

点P（x，y）是区域|x|+|y|≤1的动点，求ax+y的最大值．

Answer

作出题中不等式表示的平面区域，得到如图所示的正方形平面区域．再分-1≤a≤1、a＜-1与a＞1三种情况讨论，平移直线y=-ax+t并观察纵截距t的变化，可得各种情况下的目标函数的最大值．最后加以综合，可得答案．
【解析】
作出|x|+|y|≤1表示的平面区域，得到如图所示的正方形平面区域，
设t=ax+y，则直线y=-ax+t是斜率为-a的一族平行直线，讨论如下：

（1）当-1≤-a≤1，即-1≤a≤1时，直线过A（0，1）时，纵截距t最大，可得tmax=1；（如图1）
（2）当-a＞1，即a＜-1时，直线过D（-1，0）时，纵截距t最大，tmax=-a；（如图2）
（3）当-a＜-1，即a＞1时，直线过B（1，0）时，纵截距t最大，tmax=a，（如图3）
综上可知，ax+y的最大值为．