Question

如图所示，过点M（-6，0）作圆C：x²+y²-6x-4y+9=0的割线，交圆C于A、B两点．
（1）求线段AB的中点P的轨迹；
（2）在线段AB上取一点Q，使，求点Q的轨迹．

Answer

（1）设中点P的坐标，建立关于点P的方程，从而确定轨迹方程．
（2）利用代入法求点点Q的轨迹．
【解析】
（1）圆C的方程为（x-3）2+（y-2）2=4，其圆心为C（3，2），半径为2．
又M∈{M|PC⊥MP，P在已知圆内}，
设P点坐标（x，y），则CP的斜率为，MP的斜率为，
所以，化简得x2+y2+3x-2y-18=0．
点C（3，2）应在轨迹上，而x=3时，y=2满足方程x2+y2+3x-2y-18=0，
所以点P的轨迹是圆x2+y2+3x-2y-18=0在已知圆内的一段弧．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x，y），直线AB的斜率为k，则有，
代入，有，
即，①
把y=k（x+6）代入x2+y2-6x-4y+9=0，得（k2+1）x2+2（6k2-2k-3）x+3（12k2-8k+3）=0，，②
②代入①并化简得，而，从而有9x+2y-27=0，所以点Q的轨迹是直线9x+2y-27=0的圆内部分．