Question

下列不等式恒成立的是（ ）
①e^x≥1+x
②sinx＜x，x∈[0，π）
③nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ，n∈N^*
④．
A．②③
B．①④
C．②④
D．①③

Answer

①首先构造函数f（x）=ex-x-1，然后求出函数的导数，利用导数与函数单调性的关系进行证明．对于②③可举出反例说明它们不是恒成立的；对于④设f（x）=，利用 民数研究其单调性，从而得出结论．
【解析】
①设f（x）=ex-x-1，则f′（x）=ex-1，
∴当x=0时，f′（x）=0，f（x）=0．
当x＞0时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数，
∴f（x）＞f（0）=0．
当x＜0时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（-∞，0）上是减函数，
∴f（x）＞f（0）=0．
∴对x∈R都有f（x）≥0，
∴ex≥x+1．故①恒成立；
②当x=0时，sinx=x，故不成立；
③当n=3时，nn+1=34=81，（n+1）n=43=64，故nn+1＜（n+1）n，n∈N*，不成立．
④设f（x）=，则f'（x）=-1+x=＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数，且f（0）=0，∴当x＞0时，f（x）＞f（0）=0，故．正确．
故选B．