Question

已知抛物线C：y=2x²上的点A（-1，2），直线l₁过点A且与抛物线相切．直线l₂：x=a（a＞-1）交抛物线于点B，交直线l₁于点D，记△ABD的面积为S₁，抛物线和直线l₁，l₂所围成的图形面积为S₂，则S₁：S₂=（ ）
A．2：1
B．3：2
C．4：3
D．随a的值而变化

Answer

先由y=2x2，得y′=4x．当x=-1时，y'=-4．由此能求出l1的方程．由 得：B点坐标为（a，2a2）．由 得D点坐标（a，-4a-2）．点A到直线BD的距离为|a+1|．由此能求出S1的值．当a＞-1时，S1=（a+1）3，S2=∫-1a[2x2-（-4x-2）]dx=∫-1a（2x2+4x+2）dx=（a+1）3．可知S1：S2的值为与a无关的常数．
【解析】
由y=2x2，得y′=4x．当x=-1时，y'=-4．（2分）
∴l1的方程为y-2=-4（x+1），即y=-4x-2．（3分）
由 得：B点坐标为（a，2a2）．（4分）
由 得D点坐标（a，-4a-2）．（5分）
∴点A到直线BD的距离为|a+1|．（6分）
|BD|=2a2+4a+2=2（a+1）2
∴S1=|a+1|3．（7分）
当a＞-1时，S1=（a+1）3，（8分）
S2=∫-1a[2x2-（-4x-2）]dx
=∫-1a（2x2+4x+2）dx
=（ x3+2x2+2x） =（a+1）3．（9分）
∴S1：S2=．（11分）
故选B．