Question

已知函数
（Ⅰ）若f（x）在[1，e]上的最小值为，求a的值；
（Ⅱ）若f（x）＜x²在（1，+∞）上恒成立，求a的取值范围．

Answer

（Ⅰ）求导，令f′（x）=0得x=-a，以-a在[1，e]内，左，右分为三类来讨论，函数在[1，e]上的单调性，进而求出最值，令其等于，求出a的值，由范围来取舍，得了a的值．
（Ⅱ）将f（x）代入不等式，分离出a，写在不等式的左边，设右边为函数h（x），求导，再求导，得出导数的正负，从而得出h'（x）的单调性，求最值，得出h'（x）的正负，得出h（x）的单调性，求出h（x）的最小值，得出a的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）f′（x）=+=令f′（x）＜0得x＜-a，令f′（x）＞0，得x＞-a，
①-a≤1，即a≥-1时，f（x）在[1，e]上单增，f（x）最小值=f（1）=-a=，a=-＜-1，不符，舍；
②-a≥e，即a≤-e时，f（x）在[1，e]上单减，f（x）最小值=f（e）=1-=，a=-＞-e，不符，舍；
③1＜-a＜e，即-e＜a＜-1时，f（x）在[1，-a]上单减，在[-a，e]上单增，f（x）最小值=f（-a）=ln（-a）+1=，a=-，满足；
综上a=-．
（Ⅱ）由题意，只需a＞xlnx-x3，x∈（1，+∞）恒成立，
令h（x）=xlnx-x3，h'（x）=lnx+1-3x2，h''（x）=-6x=＜0 在（1，+∞）上恒成立，
∴h'（x）在（1，+∞）上单减，又h'（1）=-2＜0，
∴h'（x）＜0 在（1，+∞）上恒成立，h（x）在（1，+∞）上单减，又h（1）=-1，
∴h（x）＜-1在（1，+∞）上恒成立，
∴a≥-1．