Question

若函数f（x）=-x²+（a+2）x+2+b，log₂f（1）=2，且g（x）=f（x）-2x为偶函数．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）在区间[m，+∞）的最大值为3-3m，求m的值．

Answer

（1）利用条件log2f（1）=2和g（x）=f（x）-2x为偶函数确定a，b．
（2）利用f（x）在区间[m，+∞）的最大值为3-3m，确定m的值．
【解析】
（1）因为log2f（1）=2，所以f（1）=4，即-1+a+2+2+b=4，即a+b=1．
又g（x）=f（x）-2x=-x2+（a+2）x+2+b-2x═-x2+ax+2+b，
因为g（x）=f（x）-2x为偶函数，所以a=0，解得b=1．
所以f（x）=-x2+2x+3．
（2）因为f（x）=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，对称轴为x=1．
当，可得m=5．
当m＜1，f（x）max=4=3-3m，可得．
综合得m=5或m=．