Question

已知数列{a_n}是等差数列，S_n为其前n项和，且满足S₂=4，S₅=25，数列{b_n}满足b_n=，T_n为数列{b_n}的前n项和．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若对任意的n∈N^*，不等式λT_n＜n+8•（-1）ⁿ恒成立，求实数λ的取值范围；
（3）是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T₁，T_m，T_n成等比数列？若存在，求出所有m，n的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）设数列的首项为a1，公差为d，利用S2=4，S5=25，建立方程组，即可求数列{an}的通项公式；
（2）分类讨论，分离参数，利用基本不等式及数列的单调性，即可求实数λ的取值范围；
（3）利用等比数列的性质，建立方程，求出m的值，从而可求n的值．
【解析】
（1）设数列的首项为a1，公差为d，则
∵S2=4，S5=25，
∴
∴a1=1，d=2
∴an=2n-1；
（2）①当n为偶数时，要使不等式λTn＜n+8•（-1）n恒成立，即需不等式λ＜恒成立．
∵，等号在n=2时取得． 
∴此时λ需满足λ＜25．
②当n为奇数时，要使不等式λTn＜n+8•（-1）n恒成立，
即需不等式λ＜-15恒成立．
∵是随n的增大而增大，∴n=1时，取得最小值-6．
∴此时λ需满足λ＜-21．
综合①、②可得λ的取值范围是λ＜-21．
（3），
若T1，Tm，Tn成等比数列，则，即．…12分
∴，
即-2m2+4m+1＞0，------------------------14分
∴．
又m∈N，且m＞1，所以m=2，此时n=12．
因此，当且仅当m=2，n=12时，数列{Tn}中的T1，Tm，Tn成等比数列．--------16分