Question

已知椭圆E的中心在坐标原点O，两个焦点分别为A（-1，0），B（1，0），一个顶点为H（2，0）．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）对于x轴上的点P（t，0），椭圆E上存在点M，使得MP⊥MH，求实数t的取值范围．

Answer

（1）由两个焦点分别为A（-1，0），B（1，0），上顶点为D（2，0），得到椭圆的半长轴a，半焦距c，再求得半短轴b，
最后由椭圆的焦点在X轴上求得方程．
（2）利用向量垂直即可求得M点的横坐标x，从而解决问题．
【解析】
（1）由题意得，c=1，a=2，则b=
故所求的椭圆标准方程为；
（2）设M（x，y）（x≠±2），则      ①
又由P（t，0），H（2，0）．则，
由MP⊥MH可得，即（t-x，-y）•（2-x，-y）=
由①②消去y，整理得    ②
∵x≠2，∴
∵-2＜x＜2，∴-2＜t＜-1
故实数t的取值范围为（-2，-1）．