①c=0,f(-x)=-x|-x|-bx=-x|x|-bx=-f(x),由奇函数的定义判断
②b=0,c>0,代入可得f(x)=x|x|+c=,令f(x)=0,通过解方程判断
③根据中心对称的条件进行证明是否满足f(2c-x)=f(-x)
④举出反例如c=0,b=-2
【解析】
①c=0,f(x)=x|x|+bx,f(-x)=-x|-x|+b(-x)=-f(x),故①正确
②b=0,c>0,f(x)=x|x|+c=令f(x)=0可得,故②正确
③设函数y=f(x)上的任意一点M(x,y)关于点(0,c)对称的点N(x′,y′),则.代入y=f(x)可得2c-y′=-x′|-x′|-bx′+c⇒y′=x′|x′|+bx′+c故③正确
④当c=0,b=-2,f(x)=x|x|-2x=0的根有x=0,x=2,x=-2故④错误
故答案为:①②③