Question

已知函数f（x）=lg（ax²+2x+1）．
（1）若f（x）的定义域是R，求实数a的取值范围及f（x）的值域；
（2）若f（x）的值域是R，求实数a的取值范围及f（x）的定义域．

Answer

本题考查的是函数的图象与性质问题．在解答时，对（1）由于函数f（x）的定义域是R，所以ax2+2x+1＞0对一切x∈R成立．
解此恒成立问题即可获得实数a的取值范围，再结合二次函数最值的知识易得函数f（x）的值域；对（2）由于函数f（x）的值域是R，所以u=ax2+2x+1的值域⊇（0，+∞）．然后利用二次函数的图象与性质即可获得问题的解答．
【解析】
（1）因为f（x）的定义域为R，所以ax2+2x+1＞0对一切x∈R成立．
由此得
解得a＞1．
又因为ax2+2x+1=a（x+）2+1-＞0，
所以f（x）=lg（ax2+2x+1）≥lg（1-），
所以实数a的取值范围是（1，+∞），
f（x）的值域是．
（2）因为f（x）的值域是R，所以u=ax2+2x+1的值域⊇（0，+∞）．
当a=0时，u=2x+1的值域为R⊇（0，+∞）；
当a≠0时，u=ax2+2x+1的值域⊇（0，+∞）等价于
解之得0＜a≤1
所以实数a的取值范围是[0.1]当a=0时，由2x+1＞0得x＞-，
f（x）的定义域是（-，+∞）；
当0＜a≤1时，由ax2+2x+1＞0
解得或
f（x）的定义域是．