Question

已知函数f（x）=在x=2处有极值．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在R上有且仅有一个零点，求b的取值范围．

Answer

（1）首先求出函数的导数，然后f′（2）=0，解出a的值，进而求出导数．分别令f′（x）＜0，f′（x）＞0，求出函数的单调区间；
（2）由于函数f（x）在R上有且仅有一个零点，则函数的极大值小于0，或者是函数的极小值大于0，解出参数范围即可．
【解析】
（1）f′（x）=x2-2ax…（1分）
由题意知：f′（2）=4-4a=0，得a=1，…（3分）
∴f′（x）=x2-2x，
令f′（x）＞0，得x＞2或x＜0，…（5分）
令f′（x）＜0，得0＜x＜2，…（6分）
∴f（x）的单调递增区间是（-∞，0）和（2，+∞），
单调递减区间是（0，2）．…（7分）
（2）由（1）知，f（x）=，
f （2）=为函数f （x）极小值，f （0 ）=b为极大值．…（10分）
∵函数f （x） 在R上有且仅有一个零点，
∴或b＜0    …（12分）
即      …（13分）