Question

已知递增的等差数列{a_n}满足：a₂a₃=45，a₁+a₄=14
（1）求数列{a_n}的通项公式及前n项和S_n；
（2）设b_n=，求数列{b_nb_n+1}的前n项和T_n．

Answer

（1）根据等差数列的性质得：a2+a3=14，再由条件构造方程x2-14x+45=0求根，且a2＜a3，求出a2和a3，求出首项和公差，代入通项公式和前n项和公式化简；
（2）由（1）和题意求出bn，再代入bn•bn+1并裂项，再代入Tn相消后化简整理即可．
【解析】
（1）由题意得，a1+a4=14，则a2+a3=14，
∵a2a3=45，∴a2、a3是方程x2-14x+45=0的两根，
∵等差数列{an}是递增数列，∴a2＜a3，
解得a2=5，a3=9，公差d=4，a1=1，
∴an=4n-3，
Sn===2n2-n，
（2）由（1）得，bn===，
则bn•bn+1==4（），
∴Tn=b1•b2+b2•b3+…+bn•bn+1
=4[（1）+（）+…+（）]
=4（1-）=．