Question

在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=sinA-acosC．
（1）求角C的大小；
（2）若c=2，求△ABC周长的取值范围．

Answer

（1）根据正弦定理将题中等式化成sin（C-）=，结合角C的取值范围和正弦函数的性质可得C=；
（2）设三角形外接圆半径为R，由正弦定理结合三角恒等变换，将三角形周长化成C=4sin（A+）+2，再根据A∈（0，），结合三角函数的图象与性质即可算出△ABC周长的取值范围．
【解析】
（1）∵a=sinA-acosC
∴根据正弦定理，得sinA=sinCsinA-sinAcosC
结合sinA＞0，两边消去sinA得1=sinC-cosC，即sin（C-）=，
结合C-∈（-，），解之得C=；             …（3分）
（2）设三角形外接圆半径为R，则
周长C=a+b+c=2R（sinA+sinB）+2=[sinA+sin（A+）]+2
=（sinA+cosA）+2=4（sinAcos+cosAsin）+2
=4sin（A+）+2                          …（6分）
∵A∈（0，），∴A+∈（，），得4sin（A+）∈（2，4]
因此，周长的取值范围为（4，6]．                  …（8分）