Question

在正方体AC₁中，已知E、F、G、H分别是CC₁、BC、CD和A₁C₁的中点．证明：
（1）AB₁∥GE，AB₁⊥EH；
（2）A₁G⊥平面EFD．

Answer

（1）以A为原点建立空间直角坐标系，用坐标表示向量，证明=2，•=0，即可得到结论；
（2）证明•=0，•=0，即可得到结论．
证明：如图，以A为原点建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则A（0，0，0）、B（1，0，0）、C（1，1，0），D（0，1，0）、A1（0，0，1）、B1（1，0，1）、C1（1，1，1）、D1（0，1，1），
由中点性质得E（1，1，）、F（1，，0），G（，1，0）、H（，，1）．
（1）则=（1，0，1），=（，0，），=（-，-，）
∵=2，•=1×（-）+1×=0，
∴∥，⊥．
即AB1∥GE，AB1⊥EH．
（2）∵=（，1，-1），=（1，-，0），=（1，0，），
∴•=-+0=0，•=+0-=0，
∴A1G⊥DF，A1G⊥DE．
又DF∩DE=D，
∴A1G⊥平面EFD．