Question

三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为A₁B₁C₁，∠BAC=90°，A₁A⊥平面ABC，，，AC=2，A₁C₁=1，．
（Ⅰ）证明：平面A₁AD⊥平面BCC₁B₁；
（Ⅱ）求二面角A-CC₁-B的大小．

Answer

（Ⅰ）欲证平面A1AD⊥平面BCC1B1，根据面面垂直的判定定理可知在平面BCC1B1内一直线与平面A1AD垂直，根据线面垂直的性质可知A1A⊥BC，AD⊥BC，又A1A∩AD=A，根据线面垂直的判定定理可知BC⊥平面A1AD，而BC⊂平面BCC1B1，满足定理所需条件；
（Ⅱ）作AE⊥C1C交C1C于E点，连接BE，由三垂线定理知BE⊥CC1，从而∠AEB为二面角A-CC1-B的平面角，过C1作C1F⊥AC交AC于F点，在Rt△BAE中，求出二面角A-CC1-B的平面角即可．
证明：（Ⅰ）∵A1A⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，
∴A1A⊥BC．在Rt△ABC中，，∴，
∵BD：DC=1：2，∴，又，
∴△DBA∽△ABC，∴∠ADB=∠BAC=90°，即AD⊥BC．
又A1A∩AD=A，∴BC⊥平面A1AD，∵BC⊂平面BCC1B1，∴平面A1AD⊥平面BCC1B1．

（Ⅱ）如图，作AE⊥C1C交C1C于E点，连接BE，
由已知得AB⊥平面ACC1A1．∴AE是BE在面ACC1A1内的射影．
由三垂线定理知BE⊥CC1，∴∠AEB为二面角A-CC1-B的平面角．
过C1作C1F⊥AC交AC于F点，
则CF=AC-AF=1，，∴∠C1CF=60°．
在Rt△AEC中，．
在Rt△BAE中，．∴，
即二面角A-CC1-B为．