Question

设a，b，c为正数，利用排序不等式证明a³+b³+c³≥3abc．

Answer

由排序原理：顺序和≥反序和，结合基本不等式，即可得到结论．
证明：不妨设a≥b≥c＞0，∴a2≥b2≥c2，
由排序原理：顺序和≥反序和，得：
a3+b3≥a2b+b2a，b3+c3≥b2c+c2b，c3+a3≥a2c+c2a
三式相加得2（a3+b3+c3）≥a（b2+c2）+b（c2+a2）+c（a2+b2）．
又a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca．
所以2（a3+b3+c3）≥6abc，
∴a3+b3+c3≥3abc．
当且仅当a=b=c时，等号成立．