Question

已知a，b，c为正数，且两两不等，求证：2（a³+b³+c³）＞a²（b+c）+b²（a+c）+c²（a+b）．

Answer

不妨设a＞b＞c＞0，化简 2（a3+b3+c3）-a2（b+c）+b2（a+c）+c2（a+b）为 （a-b）2（a+b）+（b-c）2（b+c）+（c-a）2（c+a）＞0，从而证得不等式．
证明：不妨设a＞b＞c＞0，则 （a-b）2＞0，（b-c）2＞0，（c-a）2＞0．
由于 2（a3+b3+c3）-a2（b+c）+b2（a+c）+c2（a+b）=a2（a-b）+a2（a-c）+b2（b-c）+b2（b-a）+c2（c-a）+c2（c-b） 
=（a-b）2（a+b）+（b-c）2（b+c）+（c-a）2（c+a）＞0，
故有 2（a3+b3+c3）＞a2（b+c）+b2（a+c）+c2（a+b）成立．