作出如图的辅助线,设∠AOB=θ,∠NOB=α,化简矩形EFMN的面积得S=R2sin 2α,由于2θ≤2α<π,所以分θ≤与θ>两种情况讨论,分别根据sin2α的最大值得到矩形面积S的最大值,由此即可得到相应的设计方案.
【解析】
如图,设∠AOB=θ,∠NOB=α(),
其中半径AO=R=,且sin θ=,cos θ=.
矩形EFMN的面积是
S=Rsinα(2Rcosα)=R2sin2α(2θ≤2α<π),
①当θ≤,即2θ≤时,此时2a≤b,Smax=R2=a2+b2,这时α=.
②当θ>,即2θ>时,此时2a>b,Smax=R2sin 2θ=2R2sin θcos θ=2R2••=ab.
因此,设计方案如下:
当2a≤b时,取点N使∠NOB=,再确定点M、E、F,这样矩形EFMN的最大面积为a2+b2;
当2a>b时,这时矩形ABCD就是所求的面积最大的矩形,最大面积为ab.