Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，S_n=na_n-2n（n-1）．
（Ⅰ）求数列数列{a_n}的通项公式a_n，
（Ⅱ）设数列的前n项和为T_n，求证．

Answer

（I）由Sn=nan-2n（n-1）结合通项和前n项和的关系，转化为an+1-an=4（n≥2）再由等差数列的定义求解，要注意分类讨论．
（II）利用裂项求和法求出=，又易知Tn单调递增，
则，从而证得结论．
【解析】
（I）由Sn=nan-2n（n-1）
得an+1=Sn+1-Sn=（n+1）an+1-nan-4n
即an+1-an=4…（4分）∴数列{an}是以1为首项，4为公差的等差数列∴an=4n-3．…（6分）
（II）===…（10分）
又易知Tn单调递增，
故，
得．…（12分）