Question

已知数列{a_n}中，a₁=2，a₂=3，其前n项和S_n满足S_n+1+S_n-1=2S_n+1（n≥2，n∈N^*）．
（Ⅰ）求证：数列{a_n}为等差数列，并求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列{b_n}的前n项和T_n；
（Ⅲ）设（λ为非零整数，n∈N^*），试确定λ的值，使得对任意n∈N^*，有c_n+1＞c_n恒成立．

Answer

（Ⅰ）利用数列递推式，变形可得（Sn+1-Sn）-（Sn-Sn-1）=1，由此可得结论；
（Ⅱ）利用错位相减法，可求数列{bn}的前n项和Tn；
（Ⅲ）要使cn+1＞cn恒成立，则恒成立，分类讨论，分离参数，可得结论．
（Ⅰ）证明：由已知，（Sn+1-Sn）-（Sn-Sn-1）=1（n≥2，n∈N*），
即an+1-an=1（n≥2，n∈N*），且a2-a1=1．
∴数列{an}是以a1=2为首项，公差为1的等差数列，
∴an=n+1． …（4分）
（Ⅱ）【解析】
由（Ⅰ）知，设它的前n项和为Tn
∴Tn=2×21+3×22+…+n×2n-1+（n+1）×2n①
∴2Tn=2×23+3×23+…+（n+1）×2n+1②
①-②可得：-Tn=2×21+22+…+2n-（n+1）×2n+1=-n×2n+1
∴Tn=n×2n+1；…（8分）
（Ⅲ）【解析】
∵an=n+1，∴，
要使cn+1＞cn恒成立，则恒成立
∴3•4n-3λ•（-1）n-12n+1＞0恒成立，
∴（-1）n-1λ＜2n-1恒成立．
（ⅰ）当n为奇数时，即λ＜2n-1恒成立，当且仅当n=1时，2n-1有最小值为1，∴λ＜1．
（ⅱ）当n为偶数时，即λ＞-2n-1恒成立，当且仅当n=2时，-2n-1有最大值-2，∴λ＞-2．
即-2＜λ＜1，又λ为非零整数，则λ=-1．
综上所述，存在λ=-1，使得对任意n∈N*，都有cn+1＞cn．…（14分）