Question

已知f（x）是二次函数，若f（0）=0且f（x+1）-f（x）=x+1，求函数f（x）的解析式，并求出它在区间[-1，3]上的最大、最小值．

Answer

由于f（0）=0，可设二次函数f（x）=ax2+bx（a≠0）．利用f（x+1）-f（x）=x+1，可得a（x+1）2+b（x+1）-[ax2+bx]=x+1，
化为（2a-1）x+a+b-1=0．此式对于任意实数x恒成立，因此，解出即可．通过配方即可得出其单调性，进而得出最值．
【解析】
∵f（0）=0，∴可设二次函数f（x）=ax2+bx（a≠0）．
∵f（x+1）-f（x）=x+1，∴a（x+1）2+b（x+1）-[ax2+bx]=x+1，
化为（2a-1）x+a+b-1=0．
此式对于任意实数x恒成立，因此，解得．
∴．
∵．
∴函数f（x）在区间上单调递减，在区间上单调递增．
∵f（-1）=0，，f（3）=6．
∴函数f（x）在区间[-1，3]上的最大、最小值分别为6，．