Question

已知函数f（x）=3ax²+2bx+c，且a+b+c=0，f（0）＞0，f（1）＞0，
（1）证明a＞0．
（2）证明方程f（x）=0在区间（0，1）内有两个实数根．

Answer

（1）根据函数解析式代入f（0）＞0、f（1）＞0，得c＞0且3a+2b+c＞0，结合a+b+c=0化简即可得到a＞0；
（2）利用a+b+c=0化简得f（）=-a，结合a＞0可得f（）＜0．由f（）与f（0）、f（1）都异号，利用根的存在性定理得f（x）=0在区间（0，）和（，1）内各有一根，由此可得f（x）=0在区间（0，1）内有两个实数根．
【解析】
（1）∵f（x）=3ax2+2bx+c，
∴f（0）＞0即c＞0；f（1）＞0即3a+2b+c＞0
∵a+b+c=0
∴，两式相加可得a＞0；
（2）∵f（）=a+b+c=（a+b+c）-a
∴结合a＞0且a+b+c=0，得f（）=-a＜0
又∵f（0）＞0，f（1）＞0，
∴f（0）f（）＜0且f（1）f（）＜0
由根的存在性定理，得
f（x）=0在区间（0，）和（，1）内分别有一个根
∴方程f（x）=0在区间（0，1）内有两个实数根．