Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面ABC为正三角形，侧棱AA₁⊥平面ABC，D是BC中点，且AA₁=AB
（1）证明：AD⊥BC₁
（2）证明：A₁C∥平面AB₁D．

Answer

（1）依题意，易证AD⊥平面BCC1B1，利用线面垂直的性质定理即可证得AD⊥BC1；
（2）取C1B1的中点E，连接A1E，ED，易证平面A1EC∥平面AB1D，利用面面平行的性质即可证得A1C∥平面AB1D．
证明：（1）∵ABC-A1B1C1为三棱柱，D是BC中点，AA1⊥平面ABC，AD⊂平面ABC，
∴AA1⊥AD；又AA1∥BB1，
∴AD⊥BB1；
又底面ABC为正三角形，D是BC中点，
∴AD⊥BC，而BC∩BB1=B，
∴AD⊥平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，
∴AD⊥BC1；
（2））取C1B1的中点E，连接A1E，ED，

则B1EDC，
∴四边形B1DCE为平行四边形，于是有B1D∥EC，又A1E∥AD，B1D∩AD=D，A1E∩EC=E，
∴平面A1EC∥平面AB1D，A1C⊂平面A1EC，
∴A1C∥平面AB1D．