Question

（甲）已知圆C的方程是x²+（y-1）²=5，直线l的方程是mx-y+1-m=0
（1）求证：对于任意的m∈R，直线l与圆C恒有两个交点
（2）设直线l与圆C交于A、B两点，求AB中点M的轨迹方程．

Answer

（1）根据直线l的方程可得直线经过定点H（1，1），而点H到圆心C（0，1）的距离为1，小于半径，
故点H在圆的内部，故直线l与圆C相交，命题得证．
（2）设AB中点M（x，y），当AB斜率存在时，由KAB•KCM=-1，可得 •=-1，化简可得AB中点M的轨迹方程；当AB的斜率不存在时，点M的坐标也满足此轨迹方程，从而得出结论．
【解析】
（1）由于直线l的方程是mx-y+1-m=0，即 y-1=m（x-1），经过定点H（1，1），
而点H到圆心C（0，1）的距离为1，小于半径，故点H在圆的内部，故直线l与圆C相交，
故直线和圆恒有两个交点．
（2）设AB中点M（x，y），当AB的斜率存在时，由题意可得CM⊥AB，故有KAB•KCM=-1．
再由 KAB=KMH=，KCM=，∴•=-1，化简可得+（y-1）2=，
即AB中点M的轨迹方程为 +（y-1）2=．
当AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x=1，此时AB的中点M的坐标为（1，1），
也满足 +（y-1）2=．
综上可得，AB中点M的轨迹方程为 +（y-1）2=．