Question

对于任意实数x，符号[x]表示x的整数部分，即[x]是不超过x的最大整数”．在实数轴R（箭头向右）上[x]是在点x左侧的第一个整数点，当x是整数时[x]就是x．这个函数[x]叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用．那么[log₂1]+[log₂2]+[log₂3]+[log₂4]+…+[log₂1024]=    ．

Answer

根据题意可得，[log21]=0有1个0，[log22]=[log23]=1，有2个1，[log24]=[log25]=…=[log27]=2，有4个2
[log28]=[log29]=[log210]=…=[log215]=3，有8个3，[log21024]=10，则[log21]+[log22]+[log23]+[log24]+…+[log21024]=1×2+2×22+3×23+…+9×29+10，令S=1×2+2×22+…+9×29，利用错位相减可求S，进而可求
【解析】
根据题意可得，[log21]=0有1个0，[log22]=[log23]=1，有2个1，[log24]=[log25]=…=[log27]=2，有4个2
[log28]=[log29]=[log210]=…=[log215]=3，有8个3，[log21024]=10
所以，[log21]+[log22]+[log23]+[log24]+…+[log21024]
=0+1+1+2+2+2+2+3+3+3+3+3+3+3+3+…+10
=1×2+2×22+3×23+…+9×29+10
令S=1×2+2×22+…+9×29
2S=1×22+2×23+…+8×29+9×210
所以，-S=2+22+…+29-9×210
=
所以，S=8×210+2=8194
故答案为：8204