Question

如图，有一块矩形空地，要在这块空地上辟一个内接四边形为绿地，使其四个顶点分别落在矩形的四条边上，已知AB=a（a＞2），BC=2，且AE=AH=CF=CG，设AE=x，绿地面积为y．
（1）写出y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域．
（2）当AE为何值时，绿地面积最大？

Answer

（1）先求得四边形ABCD，△AHE的面积，再分割法求得四边形EFGH的面积，即建立y关于x的函数关系式；
（2）由（1）知y是关于x的二次函数，用二次函数求最值的方法求解．
【解析】
（1）S△AEH=S△CFG=x2，（1分）
S△BEF=S△DGH=（a-x）（2-x）．（2分）
∴y=SABCD-2S△AEH-2S△BEF=2a-x2-（a-x）（2-x）=-2x2+（a+2）x．（5分）
由，得0＜x≤2（6分）
∴y=-2x2+（a+2）x，0＜x≤2（7分）
（2）当，即a＜6时，则x=时，y取最大值．（9分）
当≥2，即a≥6时，y=-2x2+（a+2）x，在（0，2]上是增函数，
则x=2时，y取最大值2a-4（11分）
综上所述：当a＜6时，AE=时，绿地面积取最大值；
当a≥6时，AE=2时，绿地面积取最大值2a-4（12分）