Question

已知函数f（x）=ax²+bx+c（a＞0，bc≠0），
（Ⅰ）若函数f（x）的最小值是f（-1）=0，且f（0）=1，求F（2）+F（-2）的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，f（x）＞x+k在区间[-3，-1]恒成立，试求k的取值范围；
（Ⅲ）令g（x）=2ax+b，若g（1）=0，又f（x）的图象在x轴上截得的弦的长度为m，且 0＜m≤2，试确定c-b的符号．

Answer

（Ⅰ）由已知得a=1，b=2，所以f（x）=（x+1）2，由此能够求出F（2）+F（-2）的值．
（Ⅱ）由x2+x+1-k＞0在区间[-3，-1]恒成立，知k＜x2+x+1在区间[-3，-1]上恒成立，由此入手能够求出k的取值范围．
（Ⅲ）由g（1）=0，得2a+b=0，设方程f（x）=0的两根为x1，x2，由根与系数的关系结合题设条件能够确定c-b的符号．
【解析】
（Ⅰ）由已知c=1，a-b+c=0，且．
解得a=1，b=2，
∴f（x）=（x+1）2，∴，
∴F（2）+F（-2）=（2+1）2+[-（-2+1）2]=8．
（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下，f（x）＞x+k在区间[-3，-1]恒成立，即x2+x+1-k＞0在区间[-3，-1]恒成立，
从而k＜x2+x+1在区间[-3，-1]上恒成立，
令函数p（x）=x2+x+1，
则函数p（x）=x2+x+1在区间[-3，-1]上是减函数，且其最小值p（x）min=p（-1）=1，
∴k的取值范围为（-∞，1）
（Ⅲ）由g（1）=0，得2a+b=0，
∵a＞0∴b=-2a＜0，
设方程f（x）=0的两根为x1，x2，则，，
∴，
∵0＜m≤2，∴，∴，
∵a＞0且bc≠0，∴c＞0，
∴c-b＞0