Question

如图，四边形ABCD为矩形，且AD=2，AB=1，PA⊥平面ABCD，E为BC上的动点．
（1）当E为BC的中点时，求证：PE⊥DE；
（2）设PA=1，在线段BC上存在这样的点E，使得二面角P-ED-A的平面角大小为．试确定点E的位置．

Answer

（1）建立空间直角坐标系，设AP=a，用坐标表示点与向量，证明•=0，即可证PE⊥DE；
（2）设BE=x，求得向量为平面AED的一个法向量，平面PDE的法向量，利用向量的夹角公式，即可求得结论．
证明：以为原点，AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图．…（1分）
（1）不妨设AP=a，则P（0，0，a），E（1，1，0），D（0，2，0），
从而，…（5分）
于是•=（1，1，-a）•（1，-1，0）=0，
所以，所以PE⊥DE…（6分）
（2）【解析】
设BE=x，则P（0，0，1），E（1，x，0），D（0，2，0），
则…（8分）
向量为平面AED的一个法向量．设平面PDE的法向量为，
则应有即解之得c=2b，令b=1，则c=2，a=2-x，
从而，…（10分）
依题意=，即，解之得（舍去），
所以点E在线段BC上距B点的处．…（12分）