Question

长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，AA₁=AD=4，点E为AB中点．
（Ⅰ） 求证：BD₁∥平面A₁DE；
（Ⅱ） 求证：A₁D⊥平面ABD₁；
（Ⅲ） 求点B到面A₁DE的距离．

Answer

（I）利用长方体的性质和三角形的中位线定理、线面平行的判定定理即可得出；
（II）利用线面垂直的性质定理和判定定理、正方形的性质即可证明；
（III）利用“等积变形”即可得出．
（Ⅰ）证明：设A1D与AD1交于点O，连接EO．
在长方体ABCD-A1B1C1D1中，O、E分别为AD1、AB的中点，
∴OE∥BD1．
∵OE⊂平面A1DE，BD1⊄平面A1DE
∴BD1∥平面A1DE．
（Ⅱ） 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，∵AD=AA1，∴A1D⊥AD1．
又AB⊥侧面ADD1A1，∴AB⊥A1D，
而AD1∩AB=A，∴A1D⊥平面ABD1．
（Ⅲ） 设点B到面A1DE的距离为h，==.==．
由得，
得，即点B到面A1DE的距离为．