Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，△PAD是边长为2的等边三角形，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AB=BC=1，E为CD中点．
（Ⅰ）求证：平面PAB⊥平面PAD；
（Ⅱ）求二面角P-AE-B的正弦值．

Answer

（I）利用面面垂直的性质定理和线面垂直的判定定理即可得出．
（II）通过建立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量的夹角公式即可得出．
（Ⅰ）证明：∵面PAD⊥面ABCD，AB⊥AD，AB⊂平面ABCD，面PAD∩面ABCD=AD，
∴AB⊥面PAD，
又AB⊂面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD．
（Ⅱ）【解析】
取AD中点O，连接PO，∵△PAD为正三角形，
∴PO⊥AD，由（Ⅰ）知AB⊥面PAD，PO⊂面PAD，
∴PO⊥面ABCD，建立空间直角坐标系如图2所示，
则O（0，0，0），P，C（1，0，0），D（0，1，0），，
B（1，-1，0），A（0，-1，0）．
∴，．
设平面PAE的法向量为，
则，令z=，则y=-3，x=9，∴．
取平面ABE的法向量为．
∴==．
∴=．
∴二面角P-AE-B的正弦值为