Question

设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意x∈R都有f（x）=f（x+4），当x∈（0，2）时，f（x）=2^x，则f（2012）-f（2011）的值为（ ）
A．2
B．-2
C．
D．

Answer

由于对任意x∈R都有f（x）=f（x+4），则4为f（x）的周期，从而f（2012）-f（2011）=f（4×503）-f（4×503-1）=f（0）-f（-1），再根据f（x）的奇偶性可得f（0）=0，f（-1）=-f（1）．
【解析】
由f（x）是定义在R上的奇函数，得f（0）=0，
又x∈（0，2）时，f（x）=2x，
所以f（1）=2，
因为对任意x∈R都有f（x）=f（x+4），
所以4为f（x）的周期，
所以f（2012）-f（2011）=f（4×503）-f（4×503-1）
=f（0）-f（-1）=0+f（1）=2，
故选A．