Question

设圆C的圆心在直线3x+y-7=0上，且圆经过原点和点（3，-1）．
（1）求圆C的方程；
（2）若点P是圆C上的动点，点Q是直线3x+4y-25=0上的动点，求|PQ|的最小值．

Answer

（1）设圆心C坐标为（a，7-3a），则由圆经过原点和点（3，-1）可得 a2+（7-3a）2=（a-3）2+（7-3a+1）2=r2．解得a的值，可得圆心的坐标和半径r，从而求得所求的圆的方程．
（2）求得圆心C（2，1）到直线3x+4y-25=0的距离为 d=3＞r，可得|PQ|的最小值为 d-r，运算求得结果．
【解析】
（1）设圆心C坐标为（a，7-3a），则由圆经过原点和点（3，-1）可得 a2+（7-3a）2=（a-3）2+（7-3a+1）2=r2．
解得a=2，故圆心的坐标为（2，1），半径r=，故所求的圆的方程为（x-2）2+（y-1）2=5．
（2）由于圆心C（2，1）到直线3x+4y-25=0的距离为 d==3＞r，
故|PQ|的最小值为 d-r=3-．