Question

一数列{a_n}的前n项的平均数为n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设，证明数列{b_n}是递增数列；
（3）设，是否存在最大的数M？当x≤M时，对于一切非零自然数n，都有f（x）≤0．

Answer

（1）利用平均数的意义和当n=1时，a1=S1=1；当n≥2时，an=Sn-Sn-1即可得出；
（2）作差bn+1-bn，证明其大于0即可；
（3）利用（2）递增，因此有最小值．解出，即可知道是否存在最大的数M．
【解析】
（1）由题意可得，∴，
当n=1时，a1=S1=1；
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2-（n-1）2=2n-1．
当n=1时也成立．故an=2n-1．
（2）作差bn+1-bn====，
∴bn+1＞bn对于任意正整数n都成立，因此数列{bn}是递增数列．
（3）∵递增，∴有最小值，
∴，解得x2-4x+1≥0，．
所以M=．
存在最大的数M=，当x≤M时，对于一切非零自然数n，都有f（x）≤0．