Question

已知函数f（x）=2cosxsin（x+）-．
（1）求函数f（x）的最小正周期T；
（2）若△ABC的三边a，b，c满足b²=ac，且边b所对角为B，试求cosB的取值范围，并确定此时f（B）的最大值．

Answer

（1）先根据两角和与差的正弦公式进行化简，再由最小正周期T=可得到答案．
（2）先根据余弦定理表示出cosB，再将b2=ac代入运用基本不等式的内容可确定cosB的范围，进入可确定B的范围，然后将B代入函数f（x）中，根据B的范围求出f（B）的最大值．
【解析】
（1）f（x）=2cosx•sin（x+）-
=2cosx（sinxcos+cosxsin）-
=2cosx（sinx+cosx）-
=sinxcosx+•cos2x-
=sin2x+•-
=sin2x+cos2x
=sin（2x+）．
∴T===π．
（2）由余弦定理cosB=得，cosB=
=-≥-=，∴≤cosB＜1，
而0＜B＜π，∴0＜B≤．函数f（B）=sin（2B+），
∵＜2B+≤π，当2B+=，
即B=时，f（B）max=1．