Question

已知平面内点M（-3，2），N（5，-4），l是经过点A（-1，-2）且与MN垂直的直线，动点P（x，y）满足．
（1）求直线l的方程与动点P的轨迹Σ的方程；
（2）在轨迹Σ上任取一点P，求P在直线l右下方的概率．

Answer

（1）求出直线l的斜率，利用点斜式可得方程，利用向量的数量积运算，可求动点P的轨迹Σ的方程；
（2）因为P在直线l右下方，所以P在优弧EF上，故求P在直线l右下方的概率．
【解析】
（1）由题意，…（2分），
所以直线l的方程为，即4x-3y-2=0…（3分），
又，…（4分），
由得（-3-x）（5-x）+（2-y）（-4-y）=-21…（5分），
整理得，轨迹方程为（x-1）2+（y+1）2=4…（6分）
（2）轨迹Σ是圆心为C（1，-1）、半径r=2的圆…（7分），
C到直线l的距离…（8分），
所以d=1＜r，直线l与圆Σ相交…（9分），
设交点为E、F，则…（10分），所以…（11分），
所以圆C的优弧EF的长为…（12分），
因为P在直线l右下方，所以P在优弧EF上，所求概率为P==…（14分）