Question

已知椭圆C：的离心率为，直线l过点A（4，0），B（0，2），且与椭圆C相切于点P．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）是否存在过点A（4，0）的直线m与椭圆C相交于不同的两点M、N，使得36|AP|²=35|AM|•|AN|？若存在，试求出直线m的方程；若不存在，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）由题得过两点A（4，0），B（0，2），直线l的方程为x+2y-4=0．因为，所以a=2c，b=．再由直线l与椭圆C相切，能求出椭圆方程．
（Ⅱ）设直线m的方程为y=k（x-4），由，得（3+4k2）x2-32k2x+64k2-12=0．由题意知△=（32k2）2-4（3+4k2）（64k2-12）＞0，解得-＜k＜．设M（x1，y1），N（x2，y2），则，．由此能求出直线m的方程．
【解析】
（Ⅰ）由题得过两点A（4，0），B（0，2），直线l的方程为x+2y-4=0．…（1分）
因为，所以a=2c，b=．
设椭圆方程为，
由，消去x得，4y2-12y+12-3c2=0．
又因为直线l与椭圆C相切，所以△=122-4×4（12-3c2）=0，解得c2=1．
所以椭圆方程为．…（5分）
（Ⅱ）∵直线m的斜率存在，∴设直线m的方程为y=k（x-4），…（6分）
由，消去y，
整理得（3+4k2）x2-32k2x+64k2-12=0．…（7分）
由题意知△=（32k2）2-4（3+4k2）（64k2-12）＞0，
解得-＜k＜．…（8分）
设M（x1，y1），N（x2，y2），
则，．…（9分）
又直线l：x+2y-4=0与椭圆C：相切，
由，
解得，所以P（1，）．…（10分）
则．所以|AM|•|AN|==．
又•
=•
=（k2+1）（4-x1）（4-x2）
=
=（k2+1）（-4×+16）
=（k2+1）•．
所以（k2+1）•=，解得k=．经检验成立．…（13分）
所以直线m的方程为y=．…（14分）