Question

在△ABC中，已知BC=2，=1，则△ABC面积的最大值是    ．

Answer

根据=1，及向量的数量积的定义式得到cosA=1，两边平方得到1=AB2AC2cos2A，根据三角形的面积公式S=|AB||AC|sinA，两边平方，两式相加，得到1+4S2=AB2AC2，根据余弦定理和基本不等式即可求得三角形面积的最大值．
【解析】
∵=1，∴cosA=1  
∴1=AB2AC2cos2A（1）
又∵S=|AB||AC|sinA
∴4S2=AB2AC2sin2A（2）
（1）+（2）得：1+4S2=AB2AC2（cos2A+sin2A）
即1+4S2=AB2AC2
由题知：=-，
∴BC2=AC2-2+AB2=AC2+AB2-2
∵BC=2，
∴AC2+AB2=6
由不等式：AC2+AB2≥2AC•AB 当且仅当，AC=AB时，取等号
∴6≥2AC•AB
即AC•AB≤3
∴1+4S2=AB2AC2《9
∴4S2≤8，即：S2≤2
∴S≤，所以△ABC面积的最大值是：．
故答案为．