Question

设函数f（x）的定义域为D，若存在非零实数l使得对于任意x∈M（M⊆D），有x+t∈D，且f（x+t）≥f（x），则称f（x）为M上的t高调函数．如果定义域为R的函数f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x）=|x-a²|-a²，且f（x）为R上的4高调函数，那么实数a的取值范围是    ．

Answer

根据分段函数的意义，对f（x）的解析式分段讨论，可得其分段的解析式，结合其奇偶性，可得其函数的图象；进而根据题意中高调函数的定义，可得若f（x）为R上的4高调函数，则对任意x，有f（x+4）≥f（x），结合图象分析可得4≥4a2；解可得答案．
【解析】
根据题意，当x≥0时，f（x）=|x-a2|-a2，
则当x≥a2时，f（x）=x-2a2，
0≤x≤a2时，f（x）=-x，
由奇函数对称性，有则当x≤-a2时，f（x）=x+2a2，
-a2≤x≤0时，f（x）=-x，
图象如图：易得其图象与x轴交点为M（-2a2，0），N（2a2，0）
因此f（x）在[-a2，a2]是减函数，其余区间是增函数．
f（x）为R上的4高调函数，则对任意x，有f（x+4）≥f（x），
故当-2a2≤x≤0时，f（x）≥0，为保证f（x+4）≥f（x），必有f（x+4）≥0；即x+4≥2a2；
有-2a2≤x≤0且x+4≥2a2可得4≥4a2；
解可得：-1≤a≤1；
故答案为-1≤a≤1．